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C++的线性规划

  • 时间:2017-02-06
  • 发布:广州C++培训
  • 来源:达内新闻

广州达内C++培训的小编这一期给大家讲线性规划。

线性规划裸题。

根据题目很容易可以得到线性规划方程(以样例为例):

Min(2*x1+5*x2+2*x3)

x1+ 0+ 0>=2

x1+x2+ 0>=3

0+x2+x3>=4

x1,x2,x3>=0

再将方程对偶,得到:

Max(2*x1+3*x2+4*x3)

x1+x2+ 0<=2

0+x2+x3<=5

0+ 0+x3<=2

x1,x2,x3>=0

这就是线性规划的标准型了。

为了方便单纯型算法,加入变量x4,x5,x6:

Max(2*x1+3*x2+4*x3)

x4+x1+x2+ 0=2

x5+ 0+x2+x3=5

x6+ 0+ 0+x3=2

x1,x2,x3,x4,x5,x6>=0

这就是松弛型。显然此时最优解不变。

将松弛型写成矩阵的形式:

x1 x2 x3

x4 1 1 0 2

x5 0 1 1 5

x6 0 1 1 2

2  3 4 0(k)

当x1,x2,x3取0时,显然满足条件,此时答案为右下角的常数k

我们只需不断增大k,当k达到最大值时最优解就是k了。

那么怎么增大k呢?显然如果我们增大x1,答案会更优。

但x1不能无限制地增大,对于前3个方程,我们得到x1的限制:

1、x1<=2

2、x1无限制

3、x1无限制

我们选择最紧的一个限制1,将x1增大到它,再交换x1,x4。

交换之后再将某些系数改变,使其满足方程就可以了。

于是我们可以不断交换,直到矩阵最后一行的系数都不为正就可以了。最优解就是k。

1 #include<iostream>

2 #include<cstdio>

3 #include<cstring>

4 #include<cmath>

5 using namespace std;

6 #define N 1001

7 #define M 10001

8 #define DB double

9 #define Eps 1e-7

10 #define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f

11 DB a[M][N],c[N],b[M],Ans,Tmp;

12 int i,j,n,m,l,r,x;

13 inline void Pivot(int x,int y){                               //转轴操作,使矩阵满足方程

14    b[x]/=a[x][y];

15    for(int i=1;i<=n;i++)if(i!=y)a[x][i]/=a[x][y];

16    a[x][y]=1/a[x][y];

17    for(int i=1;i<=m;i++)

18    if(i!=x&&fabs(a[i][y])>Eps){

19        b[i]-=a[i][y]*b[x];

20        for(int j=1;j<=n;j++)if(j!=y)a[i][j]-=a[i][y]*a[x][j];

21        a[i][y]*=-a[x][y];

22    }

23    Ans+=c[y]*b[x];

24    for(int i=1;i<=n;i++)if(i!=y)c[i]-=c[y]*a[x][i];

25    c[y]*=-a[x][y];

26 }

27 inline DB Simplex(){

28    while(1){                                                  //不断交换

29        for(i=1;i<=n;i++)if(c[i]>Eps)break;

30        if(i>n)return Ans;

31        Tmp=INF;

32        for(j=1;j<=m;j++)

33        if(a[j][i]>Eps&&b[j]/a[j][i]<Tmp)Tmp=b[j]/a[j][i],x=j;

34        if(Tmp==INF)return INF;

35        Pivot(x,i);                                        //交换第x行,第i列

36    }

37 }

38 int main()

39 {

40    scanf("%d%d",&n,&m);

41    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&c[i]);

42    for(i=1;i<=m;i++){

43        scanf("%d%d%lf",&l,&r,&b[i]);

44        for(j=l;j<=r;j++)a[i][j]=1;

45    }

46    printf("%d",(int)(Simplex()+0.5));

47 }

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