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  • 广州C++培训:回溯法的一般流程和技术

    发布:广州C++培训      来源:达内新闻      时间:2016-11-29

  • 广州C++培训:回溯法的一般流程和技术

    在用回溯法求解有关问题的过程中,一般是一边建树,一边遍历该树。在回溯法中我们一般采用非递归方法。下面,我们给出回溯法的非递归算法的一般流程:

    在用回溯法求解问题,也即在遍历状态空间树的过程中,如果采用非递归方法,则我们一般要用到栈的数据结构。这时,不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点,而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。

    例如在组合问题中,我们用一个一维数组Stack[ ]表示栈。开始栈空,则表示了树的根结点。如果元素1进栈,则表示建立并遍历(1)结点;这时如果元素2进栈,则表示建立并遍历(1,2)结点;元素3再进栈,则表示建立并遍历(1,2,3)结点。这时可以判断它满足所有约束条件,是问题的一个解,输出(或保存)。这时只要栈顶元素(3)出栈,即表示从结点(1,2,3)回溯到结点(1,2)。

    【问题】 组合问题

    问题描述:找出从自然数1,2,…,n中任取r个数的所有组合。

    采用回溯法找问题的解,将找到的组合以从小到大顺序存于a[0],a[1],…,a[r-1]中,组合的元素满足以下性质:

    (1) a[i+1]>a[i],后一个数字比前一个大;

    (2) a[i]-i<=n-r+1。

    按回溯法的思想,找解过程可以叙述如下:

    首先放弃组合数个数为r的条件,候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件,扩大其规模,并使其满足上述条件(1),候选组合改为1,2。继续这一过程,得到候选组合1,2,3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件,因而是一个解。在该解的基础上,选下一个候选解,因a[2]上的3调整为4,以及以后调整为5都满足问题的全部要求,得到解1,2,4和1,2,5。由于对5不能再作调整,就要从a[2]回溯到a[1],这时,a[1]=2,可以调整为3,并向前试探,得到解1,3,4。重复上述向前试探和向后回溯,直至要从a[0]再回溯时,说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下:

    【程序】

    # define MAXN 100

    int a[MAXN];

    void comb(int m,int r)

    { int i,j;

    i=0;

    a[i]=1;

    do {

    if (a[i]-i<=m-r+1

    { if (i==r-1)

    { for (j=0;j

    printf(“%4d”,a[j]);

    printf(“\n”);

    }

    a[i]++;

    continue;

    }

    else

    { if (i==0)

    return;

    a[--i]++;

    }

    } while (1)

    }

    main()

    { comb(5,3);

    }

    【问题】 填字游戏

    问题描述:在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N(N≥10)内的某9个数字,每个方格填一个整数,似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。

    可用试探发找到问题的解,即从第一个方格开始,为当前方格寻找一个合理的整数填入,并在当前位置正确填入后,为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当前方格找到一个合理的可填证书,就要回退到前一方格,调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后,就找到了一个解,将该解输出,并调整第九个的填入的整数,寻找下一个解。

    为找到一个满足要求的9个数的填法,从还未填一个数开始,按某种顺序(如从小到大的顺序)每次在当前位置填入一个整数,然后检查当前填入的整数是否能满足要求。在满足要求的情况下,继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求,就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数,都不能满足要求,就得回退到前一方格,并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查,直到找到一个满足问题要求的解,将解输出。

    回溯法找一个解的算法:

    { int m=0,ok=1;

    int n=8;

    do{

    if (ok) 扩展;

    else 调整;

    ok=检查前m个整数填放的合理性;

    } while ((!ok||m!=n)&&(m!=0))

    if (m!=0) 输出解;

    else 输出无解报告;

    }

    如果程序要找全部解,则在将找到的解输出后,应继续调整最后位置上填放的整数,试图去找下一个解。相应的算法如下:

    回溯法找全部解的算法:

    { int m=0,ok=1;

    int n=8;

    do{

    if (ok)

    { if (m==n)

    { 输出解;

    调整;

    }

    else 扩展;

    }

    else 调整;

    ok=检查前m个整数填放的合理性;

    } while (m!=0);

    }

    为了确保程序能够终止,调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验,即要求按某种有许模型生成填数序列。给解的候选者设定一个被检验的顺序,按这个顺序逐一形成候选者并检验。从小到大或从大到小,都是可以采用的方法。如扩展时,先在新位置填入整数1,调整时,找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。将上述扩展、调整、检验都编写成程序,细节见以下找全部解的程序。

    【程序】

    # include

    # define N 12

    void write(int a[ ])

    { int i,j;

    for (i=0;i<3;i++)

    { for (j=0;j<3;j++)

    printf(“%3d”,a[3*i+j]);

    printf(“\n”);

    }

    scanf(“%*c”);

    }

    int b[N+1];

    int a[10];

    int isprime(int m)

    { int i;

    int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};

    if (m==1||m%2=0) return 0;

    for (i=0;primes[i]>0;i++)

    if (m==primes[i]) return 1;

    for (i=3;i*i<=m;)

    { if (m%i==0) return 0;

    i+=2;

    }

    return 1;

    }

    int checkmatrix[ ][3]={ {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},

    {2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};

    int selectnum(int start)

    { int j;

    for (j=start;j<=N;j++)

    if (b[j]) return j

    return 0;

    }

    int check(int pos)

    { int i,j;

    if (pos<0) return 0;

    for (i=0;(j=checkmatrix[pos][i])>=0;i++)

    if (!isprime(a[pos]+a[j])

    return 0;

    return 1;

    }

    int extend(int pos)

    { a[++pos]=selectnum(1);

    b[a][pos]]=0;

    return pos;

    }

    int change(int pos)

    { int j;

    while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)

    b[a[pos--]]=1;

    if (pos<0) return –1

    b[a[pos]]=1;

    a[pos]=j;

    b[j]=0;

    return pos;

    }

    void find()

    { int ok=0,pos=0;

    a[pos]=1;

    b[a[pos]]=0;

    do {

    if (ok)

    if (pos==8)

    { write(a);

    pos=change(pos);

    }

    else pos=extend(pos);

    else pos=change(pos);

    ok=check(pos);

    } while (pos>=0)

    }

    void main()

    { int i;

    for (i=1;i<=N;i++)

    b[i]=1;

    find();

    }

    【问题】 n皇后问题

    问题描述:求出在一个n×n的棋盘上,放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局。

    这是来源于国际象棋的一个问题。皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向相互捕捉。如图所示,一个皇后放在棋盘的第4行第3列位置上,则棋盘上凡打“×”的位置上的皇后就能与这个皇后相互捕捉。

    1 2 3 4 5 6 7 8

    × ×

    × × ×

    × × ×

    × × Q × × × × ×

    × × ×

    × × ×

    × ×

    × ×

    从图中可以得到以下启示:一个合适的解应是在每列、每行上只有一个皇后,且一条斜线上也只有一个皇后。

    求解过程从空配置开始。在第1列至第m列为合理配置的基础上,再配置第m+1列,直至第n列配置也是合理时,就找到了一个解。接着改变第n列配置,希望获得下一个解。另外,在任一列上,可能有n种配置。开始时配置在第1行,以后改变时,顺次选择第2行、第3行、…、直到第n行。当第n行配置也找不到一个合理的配置时,就要回溯,去改变前一列的配置。得到求解皇后问题的算法如下:

    { 输入棋盘大小值n;

    m=0;

    good=1;

    do {

    if (good)

    if (m==n)

    { 输出解;

    改变之,形成下一个候选解;

    }

    else 扩展当前候选接至下一列;

    else 改变之,形成下一个候选解;

    good=检查当前候选解的合理性;

    } while (m!=0);

    }

    在编写程序之前,先确定边式棋盘的数据结构。比较直观的方法是采用一个二维数组,但仔细观察就会发现,这种表示方法给调整候选解及检查其合理性带来困难。更好的方法乃是尽可能直接表示那些常用的信息。对于本题来说,“常用信息”并不是皇后的具体位置,而是“一个皇后是否已经在某行和某条斜线合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一个皇后,引入一个一维数组(col[ ]),值col[i]表示在棋盘第i列、col[i]行有一个皇后。例如:col[3]=4,就表示在棋盘的第3列、第4行上有一个皇后。另外,为了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置,设定col[0]的初值为0当回溯到第0列时,说明程序已求得全部解,结束程序运行。

    为使程序在检查皇后配置的合理性方面简易方便,引入以下三个工作数组:

    (1) 数组a[ ],a[k]表示第k行上还没有皇后;

    (2) 数组b[ ],b[k]表示第k列右高左低斜线上没有皇后;

    (3) 数组 c[ ],c[k]表示第k列左高右低斜线上没有皇后;

    棋盘中同一右高左低斜线上的方格,他们的行号与列号之和相同;同一左高右低斜线上的方格,他们的行号与列号之差均相同。

    初始时,所有行和斜线上均没有皇后,从第1列的第1行配置第一个皇后开始,在第m列col[m]行放置了一个合理的皇后后,准备考察第m+1列时,在数组a[ ]、b[ ]和c[ ]中为第m列,col[m]行的位置设定有皇后标志;当从第m列回溯到第m-1列,并准备调整第m-1列的皇后配置时,清除在数组a[ ]、b[ ]和c[ ]中设置的关于第m-1列,col[m-1]行有皇后的标志。一个皇后在m列,col[m]行方格内配置是合理的,由数组a[ ]、b[ ]和c[ ]对应位置的值都为1来确定。细节见以下程序:

    【程序】

    # include

    # include

    # define MAXN 20

    int n,m,good;

    int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

    void main()

    { int j;

    char awn;

    printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n);

    for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1;

    for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1;

    m=1; col[1]=1; good=1; col[0]=0;

    do {

    if (good)

    if (m==n)

    { printf(“列\t行”);

    for (j=1;j<=n;j++)

    printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);

    printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);

    scanf(“%c”,&awn);

    if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0);

    while (col[m]==n)

    { m–;

    a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;

    }

    col[m]++;

    }

    else

    { a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;

    col[++m]=1;

    }

    else

    { while (col[m]==n)

    { m–;

    a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;

    }

    col[m]++;

    }

    good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];

    } while (m!=0);

    }

    试探法找解算法也常常被编写成递归函数,下面两程序中的函数queen_all()和函数queen_one()能分别用来解皇后问题的全部解和一个解。

    【程序】

    # include

    # include

    # define MAXN 20

    int n;

    int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

    void main()

    { int j;

    printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n);

    for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1;

    for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1;

    queen_all(1,n);

    }

    void queen_all(int k,int n)

    { int i,j;

    char awn;

    for (i=1;i<=n;i++)

    if (a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i])

    { col[k]=i;

    a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;

    if (k==n)

    { printf(“列\t行”);

    for (j=1;j<=n;j++)

    printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);

    printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);

    scanf(“%c”,&awn);

    if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0);

    }

    queen_all(k+1,n);

    a[i]=b[k+i]=c[n+k-i];

    }

    }

    采用递归方法找一个解与找全部解稍有不同,在找一个解的算法中,递归算法要对当前候选解最终是否能成为解要有回答。当它成为最终解时,递归函数就不再递归试探,立即返回;若不能成为解,就得继续试探。设函数queen_one()返回1表示找到解,返回0表示当前候选解不能成为解。细节见以下函数。

    【程序】

    # define MAXN 20

    int n;

    int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

    int queen_one(int k,int n)

    { int i,found;

    i=found=0;

    While (!found&&i

    { i++;

    if (a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i])

    { col[k]=i;

    a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;

    if (k==n) return 1;

    else

    found=queen_one(k+1,n);

    a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=1;

    }

    }

    return found;

    }

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